Indovinelli e assurdità della matematica

Questa settimana ho deciso di raccontarvi alcuni paradossi e alcune assurdità molto divertenti che si possono "dimostrare" con la matematica!

Tutti conoscete il motto "2+2=4" per indicare una cosa ovvia...Beh vi dimostrerò che invece vi sbagliate! E lo farò dimostrandovi che 4=5. In che modo??? Procediamo.

Supponiamo di avere un'equazione del tipo
                                                       1) a + b = c
che può essere scritta anche
                                                       2) (5a - 4a) + (5b -4b) = (5c - 4c)
Sistemando i termini
                                                       3) 4a + 4b - 4c = 5a + 5b - 5c
da cui raccogliendo a fattor comune
                                                       4) 4(a + b - c) = 5(a + b - c)
Eliminiamo i termini uguali in entrambi i membri e otteniamo                                                  

                                                       5) 4 = 5

Ma dove sta l'inganno??? Ovviamente ciò non può essere vero! Ma qual'è il passaggio chiave che non era consentito fare?.........................

Il trucchetto sta nell'eseguire un'operazione non definita! Ovvero "senza rendercene conto" nella riga 4) abbiamo semplificato ad entrambi i membri (a+b-c) ma poichè a+b=c ciò implica che abbiamo fatto una divisione per zero, che non è consentito come tutti sapete! Dunque a volte, bisogna prestare attenzione e non farsi fregare con dei passaggi che sembrano leciti ma che invece non lo sono!

L'indovinello che voglio proporvi invece è il seguente:
Un rettangolo è inscritto in un quadrante di cerchio come mostrato in figura.
Quanto misura la diagonale AC, sapendo che il cerchio ha raggio 2??? ...................................

A prima vista questo problema sembra di non facile risoluzione e sembra impossibile trovare un valore per la diagonale senza conoscere il valore dei lati del rettangolo.

Ma la soluzione è più banale di quanto sembri. Basta osservare che la diagonale AC e la diagonale BD hanno la stessa lunghezza! Ma la diagonale BD altro non è che il raggio del cerchio e quindi misura anch'esso 2!

Spero che vi siate divertiti a giocare con questi indovinelli di matematica e che possiate apprezzare la sua bellezza anche (o almeno) da queste curiosità.

Salvatore Rassu

Curiosità: Nepero "e" la sua costante

Nei post precedenti abbiamo affrontato la storia del numero zero e del pi greco.

Volevo concludere questo viaggio attraverso i numeri più significativi della matematica con qualche informazione e curiosità sul numero "e".

Esso è chiamato numero di Eulero e talvolta di Nepero, specialmente in Italia. Infatti Eulero fu colui che approfondì tale numero e le sue proprietà mentre Nepero lo scoprì e ne fece uso per definire i logaritmi naturali di cui parleremo nei prossimi post.

La costante "e" è un numero molto importante in matematica e interviene in numerosi ambiti come l'analisi, la fisica, l'economia e tante altre ancora.

Come il pi-greco è caratterizzato dal fatto di essere un numero irrazionale e trascendente. Esso infatti non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico.

Eulero ha iniziato ad usare la costante nel 1727 durante uno studio di meccanica. Si sostiene però che "e" sia stata usata sia dai greci antichi che dagli egizi, rispettivamente per la costruzione del Partenone e della Grande Piramide, in quanto in queste costruzioni si trovano lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore che ricordiamo essere approssimativamente 2,71828182845904523536..

Si è dimostrato che si può ottenere "e" come limite della seguente successione:

                     

Ma analizziamo ora gli ambiti in cui tale numero compare; nell' Analisi per esempio esso viene utilizzato come base per i logaritmi naturali detti anche neperiani, ma non solo! Infatti sono note a tutti le proprietà della funzione esponenziale, funzione molto speciale e unica nel suo genere.

Essa è l'unica funzione infatti che rimane invariata quando noi la deriviamo o la integriamo! Qui di seguto troviamo il grafico della funzione esponenziale

La constante di Nepero viene inoltre utilizzata in medicina con la moderna analisi differenziale per lo studio ad esempio della crescita delle popolazioni, in fisica (tra cui la fisica nucleare), in economia (come per esempio nelle leggi dei tassi).

Tale numero è talmente famoso e pieno di significato da essere utilizzato anche nel gergo comune come aggettivo (basti pensare all' affermazione  "...ha avuto una crescita esponenziale"). 

Dopo questa riflessione sul numero di Nepero vi invito a leggere i prossimi post dove accorperemo i numeri fin'ora trattati per raccontarvi una delle formule più belle e più eleganti della matematica dovuta allo stesso Eulero!

Come vi avevo anticipato, anche se a noi sembra una materia inutile, in matematica nulla è fine a se stesso ed essa è alla base della vita (soprattutto quella moderna dove tutto è basato sulla tecnologia)!

Salvatore Rassu

La storia di un numero controverso: il pi-greco

Nel post precedente abbiamo affrontato la storia del numero “zero” (clicca qui) e abbiamo visto la grande importanza che esso assume nella matematica. Oggi vorrei continuare a far conoscere i numeri più significativi per la matematica, ed ho scelto per questo motivo di raccontarvi qualcosa sul pi-greco.

Questo strano simbolo (che altro non è che la lettera pi dell’alfabeto greco), indica una costante numerica che vale 3.1415926535897932384626433832795028… Ma perché ho messo i puntini e non l’ho scritto per intero?

Ebbene, il pi-greco rientra nell’ insieme dei numeri irrazionali, ovvero quei numeri che non si possono scrivere come frazione di due numeri interi a e b, con b diverso da zero, e la cui espansione non termina mai e non forma una sequenza periodica. Inoltre pi-greco è un numero trascendente, questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui pi-greco è radice.

Ma come si definisce questo numero?

Lo zero..è solo il niente?

« Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur. »
(Leonardo Fibonacci, Liber abaci, inizio del primo capitolo)




A tutti è chiaro, ad oggi, il significato del numero “zero”. Ma vi siete mai chiesti il perché è stato necessario introdurlo? Perché l’esigenza di avere un simbolo che servisse ad indicare il nulla? E soprattutto è solo il nulla o ha altre caratteristiche?

Molto spesso ci si imbatte in qualcosa di talmente familiare da accettarlo senza la minima opposizione, senza soffermarci sul significato profondo che esso ha. Cercherò dunque tramite questo articolo di fare un po' di luce sulla storia di uno dei numeri matematici più importanti.

Ma procediamo per gradi iniziando a capire da dove viene questo ente misterioso e perché qualcuno ha sentito l’esigenza di dargli vita. Il nulla c’è e c’è sempre stato, non possiamo negarne l’esistenza; il cosmo ha origine dal nulla, la vita ha origine dal nulla. Ma allora perché tanta ostilità? Perché non è stato pensato da subito?

In antichità, specie in periodo romano, lo zero nemmeno compariva. Infatti per esempio se si voleva indicare il numero centotrenta i romani scrivevano CXXX mentre noi usiamo la notazione 130 che sta per: 1 centinaio, 3 decine e nessuna (zero) unità.

Ecco che nella nostra numerazione lo zero è importante ed indispensabile per indicare che le unità non ci sono in quel numero.

Attorno al 300 a.C. i babilonesi, abili matematici, iniziarono a usare un semplice sistema di numerazione in cui impiegavano due cunei inclinati per marcare uno spazio vuoto. Questo simbolo tuttavia non aveva una vera funzione oltre a quella di segnaposto. Occorre attendere il VII secolo con gli indiani, rivoluzionari della matematica, per ritrovare uno zero che non si limiti ad indicare uno spazio vuoto, ma lo stesso concetto di nulla. In India, in una civiltà che presentava un sistema posizionale in base dieci fondato sull’ utilizzo di nove numeri distinti e su diversi nomi specifici per le potenze di dieci, lo zero compare per la prima volta già in un testo cosmologico del 458 d.C, giunto integro fino a noi. Inizialmente rappresentato da un punto, a poco a poco si iniziò ad usare il simbolo circolare 0 che deriva dalla lettera greca omicron.

Lo zero come numero entrò nella cultura occidentale intorno all'anno Mille, quando Gerberto di Aurillac usò per primo in Europa i numeri arabi; ma solo con la pubblicazione del Liber Abaci del matematico Leonardo Fibonacci all'inizio del 1200, l'uso dei numeri arabi cominciò a diffondersi; e le resistenze non furono piccole se ancora alla fine del '400 il sindaco di Francoforte proibiva ai suoi funzionari di fare i calcoli con i numeri arabi.

Ma perché lo zero è speciale? Ci sono molteplici motivazioni come: Lo zero è un numero che non è positivo o negativo, non è pari nè dispari, fa da confine all'insieme dei numeri positivi con quelli negativi, può essere considerato l'unico naturale oltre all'uno a non essere né primo né composto, oltre che il minimo dei numeri naturali (cioè, nessun numero naturale precede lo 0) insomma è unico.

Non meno importanti sono le proprietà che esso assume nelle operazioni matematiche elementari e non, infatti indica l’elemento neutro per la somma e la differenza, qualsiasi numero moltiplicato per zero da zero, qualsiasi numero elevato zero è uguale a uno, insomma in conclusione, lo zero è proprio un numero potente.

Spero che con questo post anche voi abbiate considerazione per il numero zero, numero di tutto rispetto, e che non lo ricordiate semplicemente come “il nulla”.

Salvatore Rassu